Kompetensi Dasar:
- Menyelesaiakn sistem pertidaksamaan linear dua variabel
- Merancang model matematika dari masalah program linear
- Menyelesaikan model matematika dari masalah program linear dan penafsirannya
Indikator:
- Mengenal arti sistem Pertidaksamaan Linear dua vaiabel
- Menentukan Penyelesaikan sistem Pertidaksamaan Linear dua variabel
- Mengenal masalah yang merupakan program linear
- Menentukan fungsi obyektif dan kendala dari program linear.
- Merumuskan model matematika dari masalah program linear
- Menentukan nilai optimum dari fungsi obyektif
- Menafsirkan solusi dari masalah program linear
Persamaan semacam ini dinamakan persamaan linear dalam variabel x dan y (dua variabel). Secara umum, dapat didefinisikan sebagai persamaan linear dengan n variabel x1, x2, . . . xn dalam bentuk berikut:
dengan a1, a2, . . ., an, b adalah konstanta-konstanta real.
Jika melibatkan lebih dari satu persamaan, maka disebut dengan sistem persamaan linear. Dapat dituliskan sebagai berikut.
dengan x1, x2, . . ., xn adalah variabel a11, a12, . . ., a1n, a21, a22, . . ., a2n, . . ., amn adalah konstanta real.
Untuk saat ini, pembahasan dibatasi menjadi dua variabel saja. Untuk pertidaksamaan linear, tanda “=” diganti dengan “<”, “<”, “>”, “>”. Sebagai contoh, untuk pertidaksamaan linear dua variabel dijelaskan sebagai berikut. Misalnya, kalian menggambar garis x + y = -2 dapat digambarkan sebagai berikut.
Gambar 1. Garis X + Y = -2
Garis x + y = -2 membagi bidang koordinat menjadi dua daerah, yaitu daerah x + y < - 2 dan daerah x + y > - 2.
Sekarang, substitusi titik sembarang, misalnya titik O(0, 0) ke persamaan garis tersebut.
Didapat, 0 + 0 = 0 > - 2. Ini berarti, titik O(0, 0) berada pada daerah x + y > - 2.
Daerah x + y > - 2 ini diarsir seperti pada gambar berikut:
Sekarang, substitusi titik sembarang, misalnya titik O(0, 0) ke persamaan garis tersebut.
Didapat, 0 + 0 = 0 > - 2. Ini berarti, titik O(0, 0) berada pada daerah x + y > - 2.
Daerah x + y > - 2 ini diarsir seperti pada gambar berikut:
Gambar 2. Daerah penyelesaian x + y > - 2
Jika daerah tersebut dibatasi untuk nilai-nilai x, y < 0, maka diperoleh gambar seperti berikut.
Gambar 3. Himpunan penyelesaian sistem
pertidaksamaan x + y > - 2, x < 0, dan y < 0
Daerah yang diarsir berupa daerah segitiga. Tampak bahwa daerah ini merupakan himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan linear x + y > - 2, x < 0, dan y < 0 .
Sistem Pertidaksamaan Linear Dua Variabel
Model matematika adalah suatu cara sederhana untuk menerjemahkan suatu masalah ke dalam bahasa matematika denga menggunakan persamaan, pertidaksamaan, atau fungsi.
Sistem pertidaksamaan linear yang telah dijelaskan sebelumnya dapat diterapkan pada permasalahan sehari-hari dengan memodelkan permasalahan tersebut ke dalam model matematika.
Sebagai ilustrasi perhatikan contoh berikut. PT. Samba Lababan memproduksi ban motor dan ban sepeda. Proses pembuatan ban motor melalui tiga mesin, yaitu 2 menit pada mesin I, 8 menit pada mesin II, dan 10 menit pada mesin III. Adapun ban sepeda diprosesnya melalui dua mesin, yaitu 5 menit pada mesin I dan 4 menit pada mesin II. Tiap mesin ini dapat dioperasikan 800 menit per hari. Untuk memperoleh keuntungan maksimum, rencananya perusahaan ini akan mengambil keuntungan Rp40.000,00 dari setiap penjualan ban motor dan Rp30.000,00 dari setiap
penjualan ban sepeda. Berdasarkan keuntungan yang ingin dicapai ini, maka pihak perusahaan merencanakan banyak ban motor dan banyak ban sepeda yang akan diproduksinya dengan merumuskan berbagai kendala sebagai berikut.
penjualan ban sepeda. Berdasarkan keuntungan yang ingin dicapai ini, maka pihak perusahaan merencanakan banyak ban motor dan banyak ban sepeda yang akan diproduksinya dengan merumuskan berbagai kendala sebagai berikut.
Perusahaan tersebut memisalkan banyak ban motor yang diproduksi sebagai x dan banyak ban sepeda yang diproduksi sebagai y, dengan x dan y bilangan asli. Dengan menggunakan variabel x dan y tersebut, perusahaan itu membuat rumusan kendala-kendala sebagai berikut.
| Pada mesin I | : 2x + 5y < 800 | …. Persamaan 1 |
| Pada mesin II | : 8x + 4y < 800 | .… Persamaan 2 |
| Pada mesin III | : 10 x < 800 | .… Persamaan 3 |
| x, y bilangan asli | : x > 0, y > 0 | .… Persamaan 4 |
Fungsi tujuan (objektif) yang digunakan untuk memaksimumkan keuntungan adalah
f(x, y) = 40.000x + 30.000y.
Dalam merumuskan masalah tersebut, PT. Samba Lababan telah membuat model matematika dari suatu masalah program linear.
f(x, y) = 40.000x + 30.000y.
Dalam merumuskan masalah tersebut, PT. Samba Lababan telah membuat model matematika dari suatu masalah program linear.
Contoh Soal:
Lia ingin membuat puding buah dan es buah. Untuk membuat puding buah, ia membutuhkan 3 kg mangga dan 2 kg melon. Sedangkan untuk membuat es buah, ia membutuhkan 1 kg mangga dan 4 kg melon. Lia memiliki persediaan 11 kg mangga dan 14 kg melon. Buatlah model matematika dari persoalan ini!
Jawab:
Misalkan: x banyaknya puding buah y banyaknya es buahKalian dapat merumuskan kendala-kendala dalam permasalahan ini sebagai berikut.
Persamaan 1. 3x + y < 11
Persamaan 2. 2x + 4y < 14
Persamaan 3. x >0
Persamaan 4. y > 0
Nilai Optimum Suatu Fungsi ObjektifMisalkan: x banyaknya puding buah y banyaknya es buahKalian dapat merumuskan kendala-kendala dalam permasalahan ini sebagai berikut.
Persamaan 1. 3x + y < 11
Persamaan 2. 2x + 4y < 14
Persamaan 3. x >0
Persamaan 4. y > 0
1. Metode Uji Titik Pojok
Untuk menentukan nilai optimum fungsi objektif dengan menggunakan metode uji titik pojok, lakukanlah langkah-langkah berikut.
- Gambarlah daerah penyelesaian dari kendala-kendala dalam masalah program linear tersebut.
- Tentukan titik-titik pojok dari daerah penyelesaian itu.
- Substitusikan koordinat setiap titik pojok itu ke dalam fungsi objektif.
- Bandingkan nilai-nilai fungsi objektif tersebut. Nilai terbesar berarti menunjukkan nilai maksimum dari fungsi f(x, y), sedangkan nilai terkecil berarti menunjukkan nilai minimum dari fungsi f(x, y).
Contoh Soal:
2. Metode Garis Selidik
Untuk menentukan nilai optimum fungsi objektif dengan menggunakan metode garis selidik, lakukanlah langkah-langkah berikut.
- Tentukan garis selidik, yaitu garis-garis yang sejajar dengan garis ax
by k, a ! 0, b ! 0, dan k
R. - Gambarkan garis selidik-garis selidik tersebut pada koordinat Cartesius!
- Untuk menentukan nilai maksimum fungsi tujuan maka carilah garis selidik yang jaraknya terbesar terhadap titik pusat O(0, 0) dan berada pada daerah penyelesaian. Sedangkan untuk menentukan nilai minimum fungsi tujuan maka carilah garis selidik yang jaraknya
terkecil terhadap titik pusat O(0, 0) dan berada pada daerah penyelesaian. Sebagai contoh, grafik berikut ini adalah
Gambar 5. Daerah penyelesaian yang
memenuhi x + 2y > 10; 3x + y > 15; x > 0; y > 0
Tentukan nilai nilai maksimum fungsi objektif f(x, y) = 40.000x + 30.000y
Garis selidik dari fungsi objektif f(x, y) =40.000x + 30.000y adalah 4x + 3y = k.
Ambil k = 120, didapat garis selidik 4x + 3y = 120.
Ambil k = 240, didapat garis selidik 4x + 3y = 240.
Ambil k = 550, didapat garis selidik 4x + 3y = 550.
Gambar 6. Garis-garis selidik yang memenuhi 2x + 5y = 800;
4x + 3y = 550; 8x + 4y = 800; 4x + 3y = 240; 4x + 3y = 120
adalah 4x + 3y = 550.
Dengan mengalikan kedua ruas persamaan garis selidik dengan 10.000, kamu mendapatkan nilai maksimum fungsi objektif sebagai berikut.
10.000(4x + 3y) = 10.000(550)
40.000x + 30.000y = 5.500.000
Jadi, nilai maksimum fungsi objektif f(x, y) 40.000x + 30.000y adalah 5.500.000.
Dari gambar di atas tampak bahwa garis selidik 4x + 3y = 550 melalui titik C(25, 150).
Ini berarti, fungsi objektif f(x, y) 40.000x + 30.000y mencapai maksimum pada titik C(25, 150).
Jadi, harus memproduksi 25 ban motor dan 150 ban sepeda untuk memperoleh keuntungan maksimum Rp5.500.000,00.
Untuk menyelesaikan soal-soal tentang program linear diperlukan langkah-langkah sebagai berikut
- Mengubah soal cerita menjadi model matematika
- Menggambarkan daerah himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan
- Menentukan nilai optimum
Contoh 7
Seseorang siswa akan menyelesaiakan sejumlah soal yang terdiri dari soal tipe A dan tipe B. Untuk menyelesaikan satu soal tipe A memerlukan waktu 4 menit dengan sekor 6. sedangkan untuk menyelesaikan satu soal tipe B memerlukan waktu 6 menit dengan sekor 8. jumlah semua soal 12 dan waktu yang tersedia 60 menit. Tentukan banyaknya masing-masing tipe soal yang harus dikerjakan agar mendapatkan skor maksimum.
Jawab :
Jawab :
- Misal soal yang akan dikerjakan x buat tipe A dan y buat tipe B.
| Tipe Soal | Waktu Mengerjakan | Skor | Jumlah Soal |
| A | 4 | 6 | x |
| B | 6 | 8 | y |
| Tersedia | 60 | – | 12 |
Model Matematikanya :
4x + 6y ≤ 60
x + y ≤ 12
x ≥ 0 , y ≥ 0
Fungsi obyektif Z = 6x + 8y
4x + 6y ≤ 60
x + y ≤ 12
x ≥ 0 , y ≥ 0
Fungsi obyektif Z = 6x + 8y
- Daerah himpunan penyelesaian
Koordiant B
4x + 6y = 60Â x1Â 4x + 6y = 60
x +  y = 12 4x 4x + 4y = 48
2y = 12
y = 6
x = 6
4x + 6y = 60Â x1Â 4x + 6y = 60
x +  y = 12 4x 4x + 4y = 48
2y = 12
y = 6
x = 6
O (0,0), A (12,0), B (6,6), dan C (0,10)
3. Menentukan nilai optimum
| Titik | O (0,0) | A (12,0) | B (6,6) | C (0,10) |
| Z = 6x + 8y | 0 | 72 | 84 | 80 |
Skor maksimum 84 dengan mengerjakan 6 soal tipe A dan 6 soal tipe B.
Catatan : Untuk menentukan nilai maksimum dapat menggunakan garis selidik.
Catatan : Untuk menentukan nilai maksimum dapat menggunakan garis selidik.
